Luis Alberto Islas bebutó como profesional en 1982 en Chacarita Juniors. A principios de 1983 pasa a Estudiantes de La Plata, club donde se destacó y así, en 1984, fue convocado a la selección argentina. A mediados de 1986 es transferido a Independiente. Su debut en Independiente se produjo el 13 de julio de 1986 contra Platense.  

En la selección nacional fue arquero en el equipo subcampeón mundial juvenil en 1983 y titular en los Juegos Olímpicos de Seúl 1988. Fue el segundo arquero durante el Mundial de México en 1986 y renunció a la selección antes del Mundial de Italia (1990), al no garantizarle el técnico Carlos Salvador Bilardo la titularidad.

El flojo desempeño de Goycochea durante las eliminatorias del Mundial 1994, finalmente le permitió debutar como arquero titular en la Copa del Mundo de Estados Unidos.

Islas dijo respecto del arquero de la selecciòn , " si bien Romero no es titular en su equipo hay que destacar sus buenas actuaciones cada vez que es convocado".

 Por otra parte destacó  el muy buen momento de Talleres y el protagonismo e inteligencia que tuvo para jugar contra Boca. Afirmó que " el fútbol argentino ha cambiado mucho lo que no se sabe si para mal o para bien ".